Question

命題p：△ABC及點G滿足

GA

+

GB

+

GC

=0；命題q：G是△ABC的重心，則p是q的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要非充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分又不必要

Answer 1

分析：先判斷充分性，由命題p成立，結(jié)合向量的運算法則和幾何意義，推出

GA

=-2

GD

，得G為△ABC的重心；
推出命題q成立，故充分性成立．
再判斷必要性，設(shè)G是△ABC的重心，由重心的性質(zhì)得

GA

=-2

GD

，得出命題p中的等式成立，命題p成立，故必要性成立．

解答：解析：如圖：充分性：取BC的中點D，連接GD，并延長至E，使|DE|=|GD|，則四邊形BECG為平行四邊形，
∴

GB

+

GC

=

GE

=2

GD

．又

GA

+

GB

+

GC

=0，
∴

GA

=-2

GD

，即G、A、D三點共線，且G為三等分點，故G為△ABC的重心；
必要性：設(shè)G是△ABC的重心，則G是△ABC的三邊中線的交點，∴

GA

=-2

GD

，
又-2

GD

=-（

GB

+

GC

），∴

GA

+

GB

+

GC

=0．∴命題p成立，故必要性成立．
綜上，則p是q的充要條件．

點評：本題考查向量運算的法則和幾何意義，三角形重心的性質(zhì)，充分條件、必要條件的判斷．