Question

【題目】記是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：

①對任意的，都有；

②存在常數(shù)，使得對任意的、，都有.

（1）設(shè)函數(shù)，，判斷函數(shù)是否屬于？并說明理由；

（2）已知函數(shù)，求證：方程的解至多一個；

（3）設(shè)函數(shù)，，且，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)屬于，理由詳見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的值域，利用題中定義找出符合條件的，使得，結(jié)合定義驗證即可；

（2）利用反證法，假設(shè)方程有兩根，分別設(shè)為、，且有，利用題中定義推出矛盾，從而證明出結(jié)論成立；

（3）由求得，再由可得出關(guān)于的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，

即，所以，函數(shù)的值域為，

對任意的、，，

都有，

因此，函數(shù)屬于；

（2）假設(shè)方程的有兩個根，分別為、，且有，

則，

由于，故，矛盾.

故假設(shè)不成立，即方程的解至多一個；

（3）因為，則，即，解得，

且對任意，都有，

，解得.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.