Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖：⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE與AC交于點(diǎn)F．
（1）判斷BE是否平分∠ABC，并說明理由
（2）若AE=6，BE=8，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）BE平分∠ABC．由已知中邊的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量減等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得證．
（2）由（1）中的所證條件∠ABE=∠FAE，再加上兩個(gè)三角形的公共角，可證△BEA∽△AEF，利用比例線段可求EF．

解答：解：（1）BE平分∠ABC；
證明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）
又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC，
∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC；…（5分）
（2）連接EC，由（1）BE平分∠ABC∴E是弧AC的中點(diǎn)
∴AE=EC=6
又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…（7分）
∵A、B、C、E四點(diǎn)共圓∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴

EF

EC

=

AE

ED

∴EF=

AE•EC

ED

=

9

2

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，角平分線的判定，還有相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．本題解題的關(guān)鍵是正確讀圖，做題時(shí)最好自己作圖以幫助理解題意．