Question

已知等比數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）在與之間插入個(gè)數(shù)連同與按原順序組成一個(gè)公差為（）的等差數(shù)列．

①設(shè)，求數(shù)列的前和；

②在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

  （1）；（2）①②不存在.

【解析】

試題分析：（1）要看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是，那么這就是我們熟悉的問(wèn)題，利用，轉(zhuǎn)化為和公比的式子，可解出，再由題目條件得出關(guān)于首項(xiàng)的關(guān)系式，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)即可求出通項(xiàng)公式；（2）①由新數(shù)列的的首首項(xiàng)和末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)可求出公差，根據(jù)其表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，再考慮求，本題可用錯(cuò)位相減法；②此類問(wèn)題，一般先假設(shè)存在符合條件的數(shù)列，解出來(lái)則存在，如果得到矛盾的結(jié)果，則假設(shè)錯(cuò)誤，這樣的數(shù)列則不存在.

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由已知可得，                 1分

由已知，，所以，

兩式相減得，，解得，                        3分

又，解得，                                     5分

故                                                       6分

（2）由（1），知    7分

①，         8分

，

     10分

故                                                  11分

②假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，

則，即．                          13分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121909384081078747/SYS201312190940023888345842_DA.files/image023.png">成等差數(shù)列，所以，（*）代入上式得： ，（**）

由（*），（**），得，這與題設(shè)矛盾．                               15分

所以，在數(shù)列中不存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．  16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法.