Question

【題目】一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個(gè)底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無蓋長方體發(fā)酵池，其底面為長方形(如圖所示)，其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，發(fā)酵池造價(jià)總費(fèi)用不超過65400元

（1）求發(fā)酵池邊長的范圍；

（2）在建發(fā)酵館時(shí)，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數(shù)）.問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計(jì)，可使得發(fā)酵館占地面積最小.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；當(dāng)時(shí)，時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最��；當(dāng)時(shí)，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.

【解析】

（1）設(shè)米，總費(fèi)用為，解即可得解；

（2）結(jié)合（1）可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論即可求得最值.

（1）由題意知:矩形面積米，

設(shè)米，則米，由題意知:，得，

設(shè)總費(fèi)用為，

則，

解得:，又，故，

所以發(fā)酵池邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米；

（2）設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由（1）知:，

①時(shí)，，在上遞增，則，即米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；

②時(shí)，，在上遞減，則，即米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最�。�

③時(shí)，時(shí)，，遞減；時(shí)，遞增，

因此，即時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最��；當(dāng)時(shí)，時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最��；當(dāng)時(shí)，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.