Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱CC₁，AA₁，BB₁都與左右的兩個底面垂直，D是側(cè)棱CC₁中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角為45°．
（1）求此正三棱柱側(cè)棱CC₁長；
（2）求二面角A-BD-C正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO，則∠ADO是直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角，由此利用題設(shè)條件能求出此正三棱柱側(cè)棱CC₁長．
（2）以O(shè)C為x軸，以過O點(diǎn)平行于CC₁的直線為y軸，以O(shè)A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法能求出二面角A-BD-C的正切值．
解答：解：（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO，則∠ADO是直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，
∴AO==，
∵D是側(cè)棱CC₁中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C成角為45°，
∴CD==，
∴CC₁=2DC=2．
（2）以O(shè)C為x軸，以過O點(diǎn)平行于CC₁的直線為y軸，以O(shè)A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0），
∴，=（1，，-），
設(shè)=（x，y，z）是平面ABD的一個法向量，則=0，，
∴，解得=（，-，-1）
設(shè)二面角A-BD-C的平面角為θ，
∵面BCD的一個法向量是=（0，0，），
∴cosθ=|cos＜，＞|=||=．
∴tanθ=3．
故二面角A-BD-C的正切值為3．
點(diǎn)評：本題考查三棱柱側(cè)棱長的求地，考查二面角正切值的求法，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系進(jìn)而利用空間向量解決空間中的空間角與空間距離問題．