解答題

已知a，b，c為三角形三邊，x，y，z為不全為零的實(shí)數(shù)，且x＋y＋z＝0，求證：a2yz＋b3xz＋c2xy＜0．

答案：
解析：

　　證法一：由已知z＝－x－y，代入原不等式得xy·(c2－a2－b2)＜a2y2＋b2x2，

　　故只需證－2abxy·cosC＜a2y2＋b2x2，

　　而2ab|xy|＜a2y2＋b2x2，|cosC|＜1，

　　∴－2abxy·cosC＜a2y2＋b2x2成立．

　　從而原不等式成立．

　　證法二：在△ABC中，有|c2－a2－b2|＝|2abcosC|＜2ab．

　　由基本不等式，得a2y2＋b2x2≥2ab|xy|＞2ab|xy||cosC|≥－2abxycosC＝xy(c2－a2－b2)．

　　即0＞a2y(－x－y)＋b2x(－x－y)＋c2xy＝a2yz＋b2xz＋c2xy．

　　∴a2yz＋b2xz＋c2xy＜0．


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