【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,且AD=2BC,過A1、C、D三點(diǎn)的平面記為α,BB1與α的交點(diǎn)為Q.

(1)證明:Q為BB1的中點(diǎn);
(2)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面積為6,∠ADC=60°,求平面α與底面ABCD所成銳二面角的大。

【答案】
(1)證明:Ⅰ∵BQ∥AA1,BC∥AD,

BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,

∴平面QBC∥平面A1AD,

∴平面A1CD與這兩個(gè)平面的交線相互平行,

即QC∥A1D.

∴△QBC與△A1AD的對應(yīng)邊相互平行,

∴△QBC∽△A1AD,

,

∴Q為BB1的中點(diǎn).


(2)解法一:如圖1所示,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E.

又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A,

所以DE⊥平面AEA1,所以DE⊥A1E.

所以∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角.

因?yàn)锽C∥AD,AD=2BC,所以SADC=2SBCA

又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為6,DC=2,

所以SADC=4,AE=4.

于是tan∠AEA1= =1,∠AEA1=

故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為

解法二:如圖2所示,

以D為原點(diǎn),DA,DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)∠CDA=θ,BC=a,則AD=2a.

因?yàn)镾四邊形ABCD= 2sin60°=6,

所以a=

從而可得C(1, ,0),A1 ,0,4),

所以DC=(1, ,0), =( ,0,4).

設(shè)平面A1DC的法向量 =(x,y,1),

,

所以 =(﹣ , ,1).

又因?yàn)槠矫鍭BCD的法向量 =(0,0,1),

所以cos< , >= =

故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為


【解析】(1)由已知得平面QBC∥平面A1AD,從而QC∥A1D,由此能證明Q為BB1的中點(diǎn).(2)法一:在△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E,∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角,由此求出平面α與底面ABCD所成二面角的大。3)法二:以D為原點(diǎn),DA,DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由此利用向量法能求出平面α與底面ABCD所成二面角的大。

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