Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC ="∠BAD" =，AB=BC=2AD=4，
E、F分別是AB、CD上的點，且EF∥BC.設(shè)AE =，G是BC的中點．
沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．

（1）當(dāng)=2時，求證：BD⊥EG ；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；
（3）當(dāng)取得最大值時，求二面角D-BF-E的余弦值．

Answer 1

（1）見解析；（2）時有最大值為．（3）cos<>=。

解析試題分析：（1）∵平面平面，
       AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
據(jù)此建立建立空間坐標(biāo)系E-xyz．然后利用,證得.
(2)∵AD∥面BFC，利用 建立關(guān)于x的一元二次函數(shù)，求出其最大值.
(3)在（2）的條件下，分別求出二面角D-BF-E兩個面的法向量，根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補求解.
（1）方法一：
∵平面平面，
AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz．
 
，又為BC的中點，BC=4，
．則A（0，0，2），B（2，0，0），
G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
（－2，2，2），（2，2，0），
（－2，2，2）（2，2，0）＝0，
∴．……4分
方法二：
作DH⊥EF于H，連BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH．
為平行四邊形，且，四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，
故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分
（或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）
（2）∵AD∥面BFC，所以 =V_A-BFC＝
，即時有最大值為． ………8分
（3）設(shè)平面DBF的法向量為，∵AE=2， B（2，0，0），
D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），∴………9分
（－2，2，2），
則 ，即，
取，∴
，面BCF一個法向量為，
則cos<>=，………14分.
考點：空間向量法在證明與求角當(dāng)中的應(yīng)用.
點評：利用空間向量法關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，本小題在證明AE⊥EF，AE⊥BE，
BE⊥EF的基礎(chǔ)上，可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz．下面利用兩向量數(shù)量積為零來證明直線垂直，求兩個面的法向量的夾角來求二面角即可.