Question

已知關于t的方程t²-2t+a=0（a∈R）有兩個虛根t₁、t₂，且滿足
（1）求方程的兩個根以及實數a的值．
（2）若對于任意x∈R，不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k對于任意的k∈[2，3]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：在解答時，對（1）應先將兩個虛根設出，然后分別利用韋達定理和滿足的條件即可求的實部和虛部的值進而獲得方程的兩虛根，再由韋達定理即可求的a 的值；對（2）首先利用（1）中的結論對不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k對于任意的k∈[2，3]恒成立，進行化簡．從而獲得不等式-k²+2mk-2k≤1對任意k∈[2，3]恒成立，然后通過游離參數將問題轉化為求y=在k∈[2，3]上的最小值即可獲得m的關系式，從而問題即可獲得解答．
解答：解：（1）設t₁=x+yi（x，y∈R），則t₂=x-yi；△=4-4a＜0
∴a＞1；t₁+t₂=2x=2∴x=1；，∴或；
所以兩根分別為，
∴，
即方程的兩個根為：，實數a的值為4．
（2）log₄（x²+4）≥log₄4=1，所以不等式-k²+2mk-2k≤1對任意k∈[2，3]恒成立．
（2m-2）k≤k²+1⇒2m-2≤k+，當且僅當k=1的時候等號成立，
又∵y=在k∈[2，3]上單調遞增，
所以
所以，
故實數m的取值范圍為：．
點評：本題考查的是函數的最值問題．在解答的過程當中充分體現了方程虛根的求法，恒成立問題的解答規(guī)律以及問題轉化的思想．值得同學們體會反思．