(2011•焦作一模)已知函數(shù)f(x)的圖象過點(
π
4
,-
1
2
),它的導函數(shù)f′(x)=Acos(ωx+φ)(x∈R)的圖象的一部分如圖所示,其中A>0,ω>0,|φ|<
π
2
,為了得到函
數(shù)f(x)的圖象,只要將函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點( 。
分析:由f′(x)=Acos(ωx+φ)的圖象可求得A,ω,φ,f(x)的圖象過點(
π
4
,-
1
2
),從而可求得原函數(shù)y=f(x)的解析式,利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換即可求得答案.
解答:解:∵f′(x)=Acos(ωx+φ),
∴由圖知,A=2,
3
4
T=
π
3
+
12
=
3
4
π,
∴T=
ω
=π,
∴ω=2,
π
3
ω+φ=π+2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ+
π
3
(k∈Z),又|φ|<
π
2
,
∴φ=
π
3

∴f′(x)=2cos(2x+
π
3
).
∴f(x)=sin(2x+
π
3
)+b.
∵函數(shù)f(x)的圖象過點(
π
4
,-
1
2
),
∴sin(2×
π
4
+
π
3
)+b=-
1
2

∴b=-1.
∴f(x)=sin(2x+
π
3
)-1.
∴為了得到函數(shù)f(x)sin(2x+
π
3
)-1的圖象,
只要將函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點:向左平移
π
3
個單位長度,再把得所各點的橫坐標縮短到原來的
1
2
倍,縱坐標不變,最后沿y軸方向向下平移一個單位長度即可.
故選C.
點評:本題考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,考查函數(shù)解析式的確定與導函數(shù)的應用,屬于中檔題.
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3
,則
BD
CB
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5
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