【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=3,a2=5,{an}的前n項和Sn , 且滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3).
(1)試求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn= ,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,證明:Tn< ;
(3)證明:對任意給定的m∈(0, ),均存在n0∈N+ , 使得當(dāng)n≥n0時,(2)中的Tn>m恒成立.
【答案】
(1)解:由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1(n≥3),得 ,
即 ,移項得 ,
∴ , ,…, ,
這個n﹣2等式疊加可得:
an﹣a2=22+23+…+2n﹣1= =2n﹣4,
又a2=5,
∴ ,n≥3,經(jīng)驗證a1=3,a2=5也適合該式,
∴ ,n∈N*
(2)證明:(2)由(1)知 = = ( ﹣ ),
∴bn= = ( ﹣ ),
∴數(shù)列{bn}的前n項和:
Tn= [( )+( )+…+( ﹣ )]
= ( )= < .
∴Tn< .
(3)證明:由(2)可知Tn= ( )< .
若Tn>m,則得 ,化簡得 ,
∵m∈(0, ),∴1﹣6m>0,
∴ ,
當(dāng) ,即0<m< 時,取n0=1即可,
當(dāng) ,即0<m< 時,取n0=1即可,
當(dāng) ,即 時,
則記 的整數(shù)部分為S,取n0=s+1即可,
綜上可知,對任意給定的m∈(0, ),均存在n0∈N+,使得當(dāng)n≥n0時,(2)中的Tn>m恒成立
【解析】(1)把數(shù)列遞推式變形得到Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1(n≥3),結(jié)合an=sn﹣sn﹣1得到an﹣an﹣1=2n﹣1(n≥2),由累加法得到數(shù)列的通項公式;(2)把數(shù)列{an}的通項公式代入bn= ,化簡后利用裂項相消法求數(shù)列{bn}的前n項和Tn , 由此能證明Tn< ;(3)把要證的Tn>m轉(zhuǎn)化為n> .然后分 <1和 ≥1,求解出n0說明要證的結(jié)論成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若存在閉區(qū)間[a,b]D和常數(shù)c,使得對任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且對任意x2∈D,當(dāng)x2[a,b]時,f(x2)<c恒成立,則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù).給出下列結(jié)論:
①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值;
②函數(shù)f(x)=x-|x-2|為R上的“平頂型”函數(shù);
③函數(shù)f(x)=sin x-|sin x|為R上的“平頂型”函數(shù);
④當(dāng)t≤時,函數(shù)f(x)=是區(qū)間[0,+∞)上的“平頂型”函數(shù).
其中正確的結(jié)論是________.(填序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)若數(shù)列的前n項和,求數(shù)列的通項公式.
(2)若數(shù)列的前n項和,證明為等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且,則 的大小關(guān)系為( )
A. a<b<c B. b<a<c C. c<a<b D. c<b<a
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,使用紙板可以折疊粘貼制作一個形狀為正六棱柱形狀的花型鎖盒蓋的紙盒.
(1)求該紙盒的容積;
(2)如果有一張長為60cm,寬為40cm的矩形紙板,則利用這張紙板最多可以制作多少個這樣的紙盒(紙盒必須用一張紙板制成).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有4個不同的小球,全部放入4個不同的盒子內(nèi),恰好有兩個盒子不放球的不同放法的總數(shù)為____________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< )向左平移 個單位后是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)在[0, ]上的最小值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的首項,且,,.
(Ⅰ)證明:是等比數(shù)列;
(Ⅱ)若,數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列?若存在,寫出這三項,若不存在說明理由.
(Ⅲ)若是遞增數(shù)列,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: =1(a>b>0)的焦點F1 , F2 , 過右焦點F2的直線l與C相交于P、Q兩點,若△PQF1的周長為短軸長的2 倍.
(1)求C的離心率;
(2)設(shè)l的斜率為1,在C上是否存在一點M,使得 ?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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