如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點為F(c,0),下頂點為A(0,-b),直線AF與橢圓的右準線交于點B,若F恰好為線段AB的中點.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若直線AB與圓x2+y2=2相切,求橢圓C的方程.
分析:(1)由B在右準線x=
a2
c
上,且F(c,0)恰好為線段AB的中點可求得2c=
a2
c
,從而可求得其斜率;
(2)由(1)可知a=
2
c,b=c,從而可設(shè)AB的方程為y=x-c,利用圓心O(0,0)點到直線y=x-c間的距離等于半徑2即可求得c,從而使問題得到解決.
解答:解 (1)因為B在右準線x=
a2
c
上,且F(c,0)恰好為線段AB的中點,
所以2c=
a2
c
,…(2分)
c2
a2
=
1
2
,所以橢圓的離心率e=
2
2
.         …(4分)
(2)由(1)知a=
2
c,b=c,所以直線AB的方程為y=x-c,即x-y-c=0,…(6分)
因為直線AB與圓x2+y2=2相切,所以
|c|
2
=
2
,…(8分)
解得c=2.所以a=2
2
,b=2.
所以橢圓C的方程為
x2
8
+
y2
4
=1.           …(10分)
點評:本題考查橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓的標準方程,考查化歸思想與方程思想,求得橢圓的離心率是關(guān)鍵,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1和C2
x2
16
+
y2
4
=1,判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請說明理由;
(2)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關(guān)于直線l對稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過橢圓C上一點P(2,1)作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于點A、B,直線AB與x軸交于點M,與y軸負半軸交于點N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點,右焦點分別為A,F(xiàn),右準線為l,N為l上一點,且在x軸上方,AN與橢圓交于點M.
(1)若AM=MN,求證:AM⊥MF;
(2)過A,F(xiàn),N三點的圓與y軸交于P,Q兩點,求PQ的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求
TM
TN
的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:|OR|•|OS|為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左頂點,右焦點分別為A、F,右準線為m.圓D:x2+y2+x-3y-2=0.
(1)若圓D過A、F兩點,求橢圓C的方程;
(2)若直線m上不存在點Q,使△AFQ為等腰三角形,求橢圓離心率的取值范圍.
(3)在(1)的條件下,若直線m與x軸的交點為K,將直線l繞K順時針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l,動點P在直線l上,過P作圓D的兩條切線,切點分別為M、N,求弦長MN的最小值.

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