設(shè)m∈N,F(xiàn)(m)表示log2m的整數(shù)部分.
(Ⅰ)求F(1),F(xiàn)(2),F(xiàn)(3);
(Ⅱ)求滿足F(m)=3的m的值;
(Ⅲ)(文科做)求:F(2n+1)+F(2n+2)+F(2n+3)+…+F(2n+1)(n∈N);
(理科做)求證:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(2n)=(n-2)·2n+n+2(n∈N).
解:(Ⅰ)∵log21=0,∴F(1)=0.∵log22=1, ∴F(2)=1, ∵1<log23<2,∴F(3)=1. (Ⅱ)當(dāng)F(m)=3,設(shè)log2m=3+a,(0≤a<1), 則m=23+a. ∴23≤m<24,即8≤m<16 ∴m=8,9,10,11,12,13,14,15等共8個(gè)值. (Ⅲ)(文科做)∵F(2n)=n,F(xiàn)(2n+1)=n+1. ∴F(2n+1)+F(2n+2)+F(2n+3)+…+F(2n+1-1)+F(2n+1) 。 。絥(2n-1)+n+1=n·2n+1. 證明:(理科做)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: (i)當(dāng)n=1時(shí),∵左邊=F(1)+F(2)=0+1=1, 右邊=(1-2)·21+2+1=1 ∴等式成立. (ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立. 即F(1)+F(2)+F(3)+……+F(2k)=(k-2)·2k+k+2. 則n=k+1時(shí), F(1)+F(2)+……+F(2k)+F(2k+1)+……+F(2k+1) =[(k-2)·2k+k+2]+[(2k-1)k+(k+1)]=(k+1-2)·2k+1+(k+1)+2. 這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.根據(jù)(i)和(ii)可知對任何n∈N等式都成立. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2004年高考教材全程總復(fù)習(xí)試卷·數(shù)學(xué) 題型:044
設(shè)a,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是平面xOy內(nèi)點(diǎn)的集合,討論是否存在a,b,使得:
(1)A∩B≠.
(2)(a,b)∈C同時(shí)成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2004年高考教材全程總復(fù)習(xí)試卷·數(shù)學(xué) 題型:044
設(shè)數(shù)列{an}是由1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)按從小到大的順序排列得到的.
(1)已知an=54321,求n;
(2)求a96;
(3)已知am=45132,求m;
(4)求Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)(學(xué)生用書) 題型:047
設(shè)n為自然數(shù),f(n)=1+++…+
(1)試證:若m、n∈N*且m<n,則f(n)≥f(m)+,并指出取等號的條件;
(2)計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,觀察上述結(jié)果,推測一般的不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年海南省海口市高考調(diào)研考試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
(從22/23/24三道解答題中任選一道作答,作答時(shí),請注明題號;若多做,則按首做題計(jì)入總分,滿分10分. 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置)(本小題滿分10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與直角坐標(biāo)系的軸的正半軸重合.直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn),求M,N兩點(diǎn)間的距離.
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