Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若實(shí)數(shù)滿足，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由在上恒成立可得，即，為此只要求得的最小值即可；

（2）由（1）在上單調(diào)遞增，又，這樣滿足的必滿足，因此只要證明，也即只要證，只要證，即，為此考慮函數(shù)在上的性質(zhì)即可。注意，因此只要證時(shí)，，這又可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)得到證明。

（1），

由在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，恒成立，

即恒成立.

設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，即.

故在上單調(diào)遞增，

故，故；

（2）當(dāng)時(shí)，，

，

故在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，且，

故.

要證，只需證，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，

故只需證，

即只需證，

即只需證.

令，

，

令，

則，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，

故在上單調(diào)遞減，

故，

故原不等式成立.