（1）已知
a
=（2x-y+1，x+y-2），
b
=（2，-2），①當x、y為何值時，
a
與
b
共線？②是否存在實數(shù)x、y，使得
a
⊥
b
，且|
a
|=|
b
|？若存在，求出xy的值；若不存在，說明理由．
（2）設
i
和
j
是兩個單位向量，其夾角是90°，
a
=
i
+2
j
，
b
=-3
i
+
j
，若(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)，求實數(shù)k的值．
分析：（1）①由
a
與
b
共線，可得存在非零實數(shù)λ使得
a
=λ
b
，從而可得結論；
②由
a
⊥
b
得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0，由|
a
|=|
b
|得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8，從而可得結論；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，即可求實數(shù)k的值．
解答：解：（1）①∵
a
與
b
共線，
∴存在非零實數(shù)λ使得
a
=λ
b
，
∴
2x-y+1=2λ
x+y-2=-2λ

∴x=
1
3
，y∈R；
②由
a
⊥
b
得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0
所以x-2y+3=0．（i）
由|
a
|=|
b
|得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8．（ii）
解（i）（ii）得
x=-1
y=1
或
x=
5
3
y=
7
3
；
（2）由題意，|
a
|=
a
2
=
(
i
+2
j
)2
=
5
，①|
b
|=
b
2
=
(-3
i
+
j
)2
=
10
，②
a
•
b
=(
i
+2
j
)(-3
i
+
j
)=-1③…（10分）
∵(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)，
∴(k
a
-
b
)•(
a
+k
b
)=0，得，k|
a
|2-k|
b
|2+(k2-1)
a
•
b
=0
將①②③代入得：k2+5k-1=0，…（12分）
解得k=
-5±
29
2
…（14分）
點評：本題考查向量共線、垂直的條件的運用，考查數(shù)量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知a，b，x，y是正實數(shù)，求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，當且僅當
a
x
=
b
y
時等號成立；
（2）求函數(shù)f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值時x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題 
（1）已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所對應的變換TM把直線L：2x-y=3變換為自身，求實數(shù)a，b，并求M的逆矩陣．
（2）已知直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t為參數(shù)），若以直角坐標系xOy的O點為極點，Ox方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為ρ=2cos（θ-
π
4
）．
（Ⅰ）求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知
a
=（2x-y+1，x+y-2），
b
=（2，-2），
①當x、y為何值時，a與b共線？
②是否存在實數(shù)x、y，使得a⊥b，且|
a
|=|
b
|？若存在，求出xy的值；若不存在，說明理由．
（2）設
n
和
m
是兩個單位向量，其夾角是60°，試求向量
a
=2
m
+
n
和b=-3
m
+2
n
的夾角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知
a
=（2x-y+1，x+y-2），
b
=（2，-2），①當x、y為何值時，
a
與
b
共線？②是否存在實數(shù)x、y，使得
a
⊥
b
，且|
a
|=|
b
|？若存在，求出xy的值；若不存在，說明理由．
（2）設
i
和
j
是兩個單位向量，其夾角是90°，
a
=
i
+2
j
，
b
=-3
i
+
j
，若(k
a
-
b
)⊥(
a
+k
b
)，求實數(shù)k的值．

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