設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)
此時(shí),f(x)為偶函數(shù)
當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a)
此時(shí)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
(2)①當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=x2-x+a+1=(x-
1
2
)2+a+
3
4

當(dāng)a≤
1
2
,則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上單調(diào)遞減,從而函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(a)=a2+1.
a>
1
2
,則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(
1
2
)=
3
4
+a
,且f(
1
2
)≤f(a)

②當(dāng)x≥a時(shí),函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+
1
2
)2-a+
3
4

a≤-
1
2
,則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(-
1
2
)=
3
4
-a
,且f(-
1
2
)≤f(a)

a>-
1
2
,則函數(shù)f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增,從而函數(shù)f(x)在[a,+∞)上的最小值為f(a)=a2+1.
綜上,當(dāng)a≤-
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為
3
4
-a

當(dāng)-
1
2
<a≤
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為a2+1
當(dāng)a>
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為
3
4
+a
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知f(x)為[-1,1]上的奇函數(shù),則f(-1)+f(0)+f(1)的值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

對(duì)任意a∈[-2,3],不等式x2+(a-6)x+9-3a>0恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x
(1)當(dāng)x<0時(shí),求f(x)的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象;
(3)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若f(x)為偶函數(shù)且在(-∞,0)上是減函數(shù),又f(-2)=0,則x•f(x)<0的解集為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)
(Ⅰ)證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
(Ⅱ)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義加以證明;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)函數(shù)f(x)的最大值為
5
2
,求此時(shí)a的值.
(Ⅳ)當(dāng)x∈[-2,-1]時(shí)函數(shù)f(x)的最大值為
5
2
,求此時(shí)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x都成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

若奇函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的減函數(shù),且f(1-m)+f(1-2m)<0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),求a的值;
(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m對(duì)任意x∈R,t∈[-2,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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