Question

【題目】對于函數(shù)，若存在,使得成立，則稱為的不動點，已知函數(shù)

（1）當，時，求函數(shù)的不動點；

（2）若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有不動點，求的取值范圍；

（3）在（2）條件下，若圖象上的兩點的橫坐標是函數(shù)的不動點，且的中點在直線上，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）-1或3；（2）；（3）.

【解析】

（1）由已知可得的不動點，為方程的解，將代入，解方程，即可得出結(jié)論；

（2）由條件可得，將問題轉(zhuǎn)化對于任意的實數(shù)，方程有實數(shù)解，利用一元二次方程有實數(shù)解，進而得到關(guān)于一元二次不等式恒成立，可求出的取值范圍；

（3）的中點在直線上，利用韋達定理結(jié)合不動點定義，將中點坐標用表示，代入直線方程，表示成的函數(shù)，由的范圍，利用函數(shù)思想求出的最小值.

（1）當，時，，

由或

當，時，求函數(shù)的不動點為-1或3；

（2）若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有不動點，

即方程時恒有實數(shù)解，

，上恒成立，

，解得，

所以的取值范圍；

（3）設(shè)的不動點為，則，

且，所以，

的中點坐標為，即為，

代入得，

，

當時，取得最小值為.