Question

設(shè)F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，過F且與拋物線C對稱軸垂直的直線被拋物線C截得線段長為4．
（1）求拋物線C方程．
（2）設(shè)A、B為拋物線C上異于原點的兩點且滿足FA⊥FB，延長AF、BF分別拋物線C于點C、D．求：四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

（1）由條件得2p=4，∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）兩直線垂直，焦點為（1，0），不妨設(shè)兩直線為：y=k（x-1）（k≠0）與ky=1-x
y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立，可得k² x²-2（k²+2）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則|x₁-x₂|=

△

|a|

=

4 k2+1

k2

∴弦長|AC|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4(k2+1)

k2

同理可得，弦長|BD|=4（k²+1）
∵兩條直線相互垂直，∴這個四邊形的面積S=

1

2

|AC||BD|=8（k2+

1

k2

+2）≥8（2

k2• 1 k2

+2）=32
當且僅當k=±1時等號成立，此時取到面積最小值為32．