在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(Ⅰ)證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(Ⅲ)證明不等式Sn+1≤4Sn,對(duì)任意n∈N*皆成立.
(Ⅰ)證明:由題設(shè)an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*
又a1-1=1,所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an-n=4n-1,于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-1+n.
所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
4n-1
3
+
n(n+1)
2

(Ⅲ)證明:對(duì)任意的n∈N*,Sn+1-4Sn=
4n+1-1
3
+
(n+1)(n+2)
2
-4(
4n-1
3
+
n(n+1)
2
)
=-
1
2
(3n2+n-4)≤0

所以不等式Sn+1≤4Sn,對(duì)任意n∈N*皆成立.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在等比數(shù)列{an}中,已知a2=2,a3=4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)設(shè)bn=an+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知α為銳角,且tanα=
2
-1,函數(shù)f(x)=2xtan2a+sin(2a+
π
4
),數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,an+1=f(an).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知等差數(shù)列{an}滿足:a10=1,S20=0.
(1)求數(shù)列{|an|}的前20項(xiàng)的和;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:log2bn=an+10,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2an-2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=an•log2an+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

等差數(shù)列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn為前n項(xiàng)和,求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn=2n2-25n,試求數(shù)列{|an|}的前10項(xiàng)的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2an-2n
(Ⅰ)求a1,a2
(Ⅱ)設(shè)cn=an+1-2an,證明:數(shù)列{cn}是等比數(shù)列
(Ⅲ)求數(shù)列{
n+1
2cn
}
的前n項(xiàng)和為Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

數(shù)列的前項(xiàng)和,則            .

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案