Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個直角三角形的三個頂點(diǎn)，且|PF₁|＞|PF₂|，求

|PF1|

|PF2|

的值．

Answer 1

分析：當(dāng)PF₂⊥x軸時，求出P的縱坐標(biāo)，即得|PF₂|的值，由橢圓的定義求得|PF₁|，進(jìn)而求得

|PF1|

|PF2|

  的值．
當(dāng)PF₁⊥PF₂ 時，設(shè)|PF₂|=m，由橢圓的定義求得|PF₁|，由勾股定理可解得m，進(jìn)而求得

|PF1|

|PF2|

  的值．

解答：解：由題意得 a=3，b=2，c=

5

，F(xiàn)₁（-

5

，0），F(xiàn)₂ （

5

，0）．
當(dāng)PF₂⊥x軸時，P的橫坐標(biāo)為

5

，其縱坐標(biāo)為±

4

3

，∴

|PF1|

|PF2|

=

2a- 4 3

4 3

=

6- 4 3

4 3

=

7

2

．
當(dāng)PF₁⊥PF₂ 時，設(shè)|PF₂|=m，則|PF₁|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c²=m²+（6-m）²，即  20=2 m²-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
故 

|PF1|

|PF2|

=

6-2

2

=2．
綜上，

|PF1|

|PF2|

的值等于

7

2

 或2．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意考慮
PF₂⊥x軸時的情況．