Question

【題目】已知向量 =（sinx，mcosx）， =（3，﹣1）．
（1）若 ∥ ，且m=1，求2sin2x﹣3cos2x的值；
（2）若函數f（x）= 的圖象關于直線x= 對稱，求函數f（2x）在[ ， ]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=1時， =（sinx，cosx）， =（3，﹣1）．

∵ ，∴sinx=﹣3cosx．

又sin2x+cos2x=1，

∴sin2x= ，cos2x= ．

∴2sin2x﹣3cos2x=2× ﹣3× =

（2）解：f（x）= =3sinx﹣mcosx= sin（x﹣φ），其中tanφ= ．

∵函數f（x）= 的圖象關于直線x= 對稱，

∴sin（ ﹣φ）=1或sin（ ﹣φ）=﹣1．

∴φ= +2kπ，或φ=﹣ +2kπ．

∴m= ．

∴f（x）=2 sin（x﹣ ）或f（x）=﹣2 sin（x﹣ ）．

∴f（2x）=2 （2x﹣ ）或f（2x）=﹣2 sin（2x﹣ ）．

∵x∈[ ， ]，∴2x﹣ ∈[ ， ]．

∴sin（2x﹣ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（2x）在[ ， ]上的值域為[﹣ ，2 ]或[﹣2 ， ]

【解析】（1）根據向量平行列出方程，解出sin2x，cos2x即可；（2）化簡f（x）解析式，根據對稱軸得出m的值，從而得出f（2x）的解析式，利用正弦函數的性質計算f（2x）的值域．