(2012•德州一模)如圖,矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=3,M為CE的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求直線DB與平面BEC所成角的正弦值;
(Ⅲ)求平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值.
分析:(I)取DE中點(diǎn)N,連接MN,AN,由三角形中位線定理,結(jié)合已知中AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,易得四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN,再由線面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;
(II),以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量,求出
m
=(1,1,
2
3
)為平面BEC的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求得直線DB與平面BEC所成角的正弦值;
(Ⅲ)確定
DA
=(1,0,0)
為平面DEC的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求得平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值.
解答:(I)證明:取DE中點(diǎn)N,連接MN,AN
在△EDC中,M、N分別為EC,ED的中點(diǎn),所以MN∥CD,且MN=
1
2
CD.
由已知AB∥CD,AB=
1
2
CD,所以MN∥AB,且MN=AB.
所以四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF,且BM?平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF.
(II)解:在矩形ADEF中,ED⊥AD,
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD,
且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC.
又AD⊥CD,以D為原點(diǎn),DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,3),
設(shè)
m
=(x,y,z)為平面BEC的一個法向量,因?yàn)?span id="p9wti9x" class="MathJye">
BC
=(-1,1,0),
CE
=(0,-2,3)
-x+y=0 
 -2y+3z=0 
,令x=1,得y=1,z=
2
3

所以
m
=(1,1,
2
3
)為平面BEC的一個法向量
DB
=(1,1,0)

∴cos
DB
,
m
=|
DB
m
|
DB
||
m
|
|=
3
11
11

∴直線DB與平面BEC所成角的正弦值為
3
11
11

(Ⅲ)∵矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,
∴DA⊥平面DEC
DA
=(1,0,0)
為平面DEC的一個法向量
∴平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值為|
DA
m
|
DA
||
m
|
|=
3
22
22
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定,熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系(平行和垂直)的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵.
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(2012•德州一模)定義運(yùn)算
.
ab
cd
.
=ad-bc
,函數(shù)f(x)=
.
x-12
-xx+3
.
圖象的頂點(diǎn)是(m,n),且k、m、n、r成等差數(shù)列,則k+r=
-9
-9

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(2012•德州一模)若a=log20.9,b=3-
1
3
,c=(
1
3
)
1
2
則( 。

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(2012•德州一模)已知
x+y-5≤0
y≥x
x≥1
,則z=2x+3y的最大值為( 。

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(2012•德州一模)對于直線m,n和平面α,β,γ,有如下四個命題:
(1)若m∥α,m⊥n,則n⊥α
(2)若m⊥α,m⊥n,則n∥α
(3)若α⊥β,γ⊥β,則α∥γ
(4)若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β
其中真命題的個數(shù)是( 。

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(2012•德州一模)已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間[0,
π
2
]
上的值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
,b=2,△ABC
的面積等于3,求邊長a的值.

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