Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F（﹣2，0），且長軸長與短軸長的比是 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．當(dāng) 最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓C的方程為 ．

由題意

解得a2=16，b2=12．

所以橢圓C的方程為

（2）解：設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為 ，故﹣4≤x≤4．

因?yàn)? ，

所以 = ．

因?yàn)楫?dāng) 最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，

即當(dāng)x=4m時(shí)， 取得最小值．而x∈[﹣4，4]，

故有4m≥4，解得m≥1．

又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即﹣4≤m≤4．

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[1，4]．

【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和長軸長與短軸長的比聯(lián)立方程求得a和b，進(jìn)而可得橢圓的方程．（Ⅱ）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可判斷x的范圍．代入 判斷因?yàn)楫?dāng) 最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，

進(jìn)而求得m的范圍．點(diǎn)M在橢圓的長軸上進(jìn)而推脫m的最大和最小值．綜合可得m的范圍．