求證:如果一條直線與兩個相交的平面都平行,那么這條直線與這兩個平面的交線平行.

已知:a∥α,a∥β,α∩β=b.

求證:a∥b.

思路點撥：已知線面平行,容易想到利用線面平行的性質(zhì),從而得到線線平行,而要利用線面平行的性質(zhì)就要考慮添加輔助面.

證明：在平面α內(nèi)任取一點P(Pb)，平面β內(nèi)取一點Q(Qb).設過點P和直線a的平面為α1,α1∩α=c.過點Q和直線b的平面為β1,β1∩β=d.

因為a∥α,所以a∥c.

又因為a∥β,所以a∥d.故c∥d.

又dβ，所以c∥β.

因為α∩β=b，所以c∥b.

又a∥c（已證）,故a∥b.

［一通百通］ 有關證明線線平行的問題，通�？梢钥紤]先通過證明相關的線面平行,從而利用線面平行的性質(zhì)定理而得到線線平行.

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如圖，已知，，求證與相交．

 


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