Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx
（1）若sinx=

4

5

(

π

2

＜x＜π)，求f（x）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用兩角和的正弦公式展開，然后，結(jié)合所給條件進(jìn)行求解；
（2）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx
=

3

sinx-cosx
∵sinx=

4

5

(

π

2

＜x＜π)，
∴cosx=-

1-sin2x

=-

3

5

，
∴f（x）=

3

×

4

5

-（-

3

5

）
=

3+4 3

5

（2）根據(jù)（1）得f（x）=2sin（x-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=2π，
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+2kπ≤x-

π

6

≤

2

3

π+2kπ，
∴單調(diào)增區(qū)間[-

π

3

+2kπ，

2

3

π+2kπ]，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．