在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),X軸的正半軸為極軸,取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系.曲線C1的參數(shù)方程為:為參數(shù));射線C2的極坐標(biāo)方程為:,且射線C2與曲線C1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
(I )求曲線C1的普通方程;
(II)設(shè)A、B為曲線C1與y軸的兩個(gè)交點(diǎn),M為曲線C1上不同于A、B的任意一點(diǎn),若直線AM與MB分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn),求證|OP|.|OQ|為定值.
(Ⅰ). (Ⅱ) 見解析
(Ⅰ)利用三角函數(shù)知識(shí)消參即可求得曲線的普通方程;(Ⅱ)先設(shè)出坐標(biāo),然后利用斜率公式求解,即可證明
(Ⅰ)曲線的普通方程為,射線的直角坐標(biāo)方程為,…3分
可知它們的交點(diǎn)為,代入曲線的普通方程可求得.
所以曲線的普通方程為.………………5分
(Ⅱ) 為定值.由(Ⅰ)可知曲線為橢圓,不妨設(shè)為橢圓 的上頂點(diǎn),
設(shè),,,因?yàn)橹本分別與軸交于、兩點(diǎn),所以,,……7分
由斜率公式并計(jì)算得,,
所以.可得為定值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的右頂點(diǎn)為,過的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為

(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,過F點(diǎn)的直線交拋物線與A、B兩點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于Q點(diǎn),且Q點(diǎn)在橢圓上,求面積的最值,并求出取得最值時(shí)的拋物線的方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)平面內(nèi)兩定點(diǎn),直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為定值
(I)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(II)設(shè),過點(diǎn)作拋物線的切線交曲線、兩點(diǎn),求的面積。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

從拋物線上一點(diǎn)引其準(zhǔn)線的垂線,垂足為,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,且,則的面積為           .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知圓C:和直線
(1)當(dāng)時(shí),求圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值;
(2)當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線滿足,
,過點(diǎn)的直線交曲線、兩點(diǎn).
(Ⅰ)求的值,并寫出曲線的方程;
(Ⅱ)求△面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè),分別是橢圓E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦點(diǎn),過的直線與E相交于A、B兩點(diǎn),且,,成等差數(shù)列。
(1)求的周長(zhǎng)
(2)求的長(zhǎng)                       
(3)若直線的斜率為1,求b的值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓 )的一個(gè)頂點(diǎn)為,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率 ,過橢圓右焦點(diǎn) 的直線  與橢圓 交于 , 兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線  的方程;若不存在,說明理由;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分13分)
如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于F1,焦點(diǎn)為F2;以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),離心率的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的交點(diǎn)為P,延長(zhǎng)PF2交拋物線于點(diǎn)Q,M是拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn),且M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)。
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C2的方程;
(2)當(dāng)的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)時(shí),求面積的最大值。

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