Question

2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2003年開始，計劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化．
（1）設(shè)該縣的總面積為1，2002年底綠化面積為a₁=，經(jīng)過n年后綠化的面積為a_n+1，試用a_n表示a_n+1；
（2）求數(shù)列{a_n}的第n+1項a_n+1；
（3）至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%．（lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

【答案】分析：（1）當年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加上新綠化面積，設(shè)出現(xiàn)有非綠化面積和經(jīng)過n年后的綠化面積，得到兩個數(shù)列之間的關(guān)系，把組成a_n+1的兩部分寫出來，得到遞推式．
（2）根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式，湊出一個等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的首項和公比，寫出這個數(shù)列的通項．
（3）由題意知本題需要解a_n+1＞60%，代入數(shù)列 的通項，要求的變量在指數(shù)位置，這種題目一般需要兩邊取對數(shù)，根據(jù)所給的兩個特殊的對數(shù)值，得到結(jié)果，根據(jù)實際意義得到n的整數(shù)．
解答：解：（1）設(shè)現(xiàn)有非綠化面積為b₁，經(jīng)過n年后非綠化面積為b_n+1．
于是a₁+b₁=1，a_n+b_n=1．
依題意，a_n+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積a_n減去被非綠化部分a_n后剩余的面積a_n，
另一部分是新綠化的面積b_n，于是
a_n+1=a_n+b_n=a_n+（1-a_n）
=a_n+．
（2）a_n+1=a_n+，a_n+1-=（a_n-）．
數(shù)列{a_n-}是公比為，首項a₁-=-=-的等比數(shù)列．
∴a_n+1=+（-）（）ⁿ．
（3）由題意得到a_n+1＞60%，
+（-）（）ⁿ＞，（）ⁿ＜，
n（lg9-1）＜-lg2，
n＞≈6.5720．
至少需要7年，綠化率才能超過60%．
點評：本題考查等比數(shù)列的通項，考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項式，考查解關(guān)于對數(shù)式的不等式，考查用數(shù)列知識解決實際問題．