Question

已知數列{a_n}的各項滿足：a₁=1-3k（k∈R），a_n=4^n-1-3a_n-1
（1）判斷數列{a_n-

4n

7

}是否為等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）數列{a_n}為遞增數列，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：等比關系的確定,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a_n=4^n-1-3a_n-1，當n≥2時，變形為a_n-

4n

7

=4n-1-3an-1-

4n

7

=-3(an-1-

4n-1

7

)，即可得出．
（2）由（1）當k≠

2

7

時，利用等比數列的通項公式即可得出；當k=

2

7

時，a₁=

1

7

，當n≥2時，a_n=

4n

7

．
（3）對n分奇偶討論，解出a_n+1-a_n＞0即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n=4^n-1-3a_n-1，
∴a_n-

4n

7

=4n-1-3an-1-

4n

7

=-3(an-1-

4n-1

7

)，
a1-

1

7

=

6

7

-3k，當k≠

2

7

時，數列{a_n-

4n

7

}是等比數列．
（2）由（1）當k≠

2

7

時，可得an-

4n

7

=(

6

7

-3k)•（-3）^n-1．
∴a_n=

4n

7

+(

6

7

-3k)•（-3）^n-1．
當k=

2

7

時，a₁=

1

7

，當n≥2時，a_n=

4n

7

．
（3）由（2）可知：當k=

2

7

時，a₁=

1

7

，當n≥2時，a_n=

4n

7

，數列{a_n}是單調遞增數列．
當k≠

2

7

時，a_n+1-a_n=

4n+1

7

+(

6

7

-3k)•(-3)n-

4n

7

-(

6

7

-3k)•（-3）^n-1
=

3•4n

7

+(

6

7

-3k)•[(-3)n-(-3)n-1]＞0，
當n=2m-1（m∈N^*）時，上式化為k＞

1

7

[2-(

4

3

)n-1]，∴k＞

2

7

．
當n=2m（m∈N^*）時，上式化為k＜

1

7

[2+(

4

3

)n]，∴k＜

34

63

．
綜上可得：k的取值范圍是[

2

7

，

34

63

)．

點評：本題考查了等比數列的定義通項公式、數列單調性，考查了變形能力與分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．