設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
2x
2x+
2
圖象上的兩點(diǎn)，且
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（1）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）記Tn為數(shù)列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n項(xiàng)和，若Tn＜a(Sn+1+
2
)對(duì)一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍．
①an-1+1=
an
n
；
②(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)…(1+
1
an
)≤3-
1
n
分析：（1）由
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)得到P是P1P2的中點(diǎn)?x1+x2=1?y1+y2=1得到y(tǒng)p即可；
（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，而Sn=f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(
n
n
)能寫(xiě)成Sn=f(
n
n
) +f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)  +f(
1
n
)，兩者相加可得Sn；
（3）先表示Tn的同項(xiàng)公式，求出之和，根據(jù)Tn＜a(Sn+1+
2
)利用基本不等式求出a的取值范圍即可．
解答：解：（1）∵
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，
∴P是P1P2的中點(diǎn)?x1+x2=1y1+y2=f(x1)+f(x2)=
2x1
2x1+
2
+
2x2
2x2+
2
=
2x1
2x1+
2
+
21-x1
21-x1+
2
=
2X1
2X1+
2
+
2
2X1+
2
=1
∴yp=
1
2
(y1+y2)=
1
2

（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，f(1)=2-
2
，Sn=f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(
n
n
)，Sn=f(
n
n
) +f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)  +f(
1
n
)
相加得2Sn=f(n)+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)] +[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+…+[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)] +f(1)=2f（1）+1+1+…+1=n+3-2
2
（n-1個(gè)1）
∴Sn=
n+3-2
2
2

（3）
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
=
1
n+3
2
•
n+4
2
=
4
(n+3)(n+4)
=4(
1
n+3
-
1
n+4
)
Tn=4[(
1
4
-
1
5
)+(
1
5
-
1
6
)+…+(
1
n+3
-
1
n+4
)] =
n
n+4

Tn＜a(Sn+1+
2
)?a＞
Tn
Sn+1+
2
=
2n
(n+4)2
=
2
n+
16
n
+8

∵n+
16
n
≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，取“=”
∴
2
n+
16
n
+8
≤
2
8+8
=
1
8
，因此，a＞
1
8
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)列及數(shù)列求和的能力，理解掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的能力，以及會(huì)用基本不等式證明的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射，點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q，記作Q=f（P）．設(shè)P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一個(gè)圓，使所有的點(diǎn)Pn（xn，yn）（n∈N*）都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上，那么稱這個(gè)圓為點(diǎn)Pn（xn，yn）的一個(gè)收斂圓．特別地，當(dāng)P1=f（P1）時(shí)，則稱點(diǎn)P1為映射f下的不動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P（x，y）在映射f下的象為點(diǎn)Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若P1的坐標(biāo)為（2，2），求證：點(diǎn)Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一個(gè)半徑為2的收斂圓．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲線C上的點(diǎn)，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2構(gòu)成了一個(gè)公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．記Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程為
x2
100
+
y2
25
=1，n=3．點(diǎn)P1（10，0）及S3=255，求點(diǎn)P3的坐標(biāo)；（只需寫(xiě)出一個(gè)）
（2）若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．點(diǎn)P1（a，0），對(duì)于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時(shí)，求Sn的最小值；
（3）請(qǐng)選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點(diǎn)P1，對(duì)于給定的自然數(shù)n，寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P1，P2，…Pn存在的充要條件，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲線C上的點(diǎn)，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2構(gòu)成了一個(gè)公差為d（d≠0） 的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．記Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程為
x2
9
-y2=1，n=3．點(diǎn)P1（3，0） 及S3=162，求點(diǎn)P3的坐標(biāo)；（只需寫(xiě)出一個(gè)）
（2）若C的方程為y2=2px（p≠0）．點(diǎn)P1（0，0），對(duì)于給定的自然數(shù)n，證明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差數(shù)列；
（3）若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．點(diǎn)P1（a，0），對(duì)于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時(shí)，求Sn的最小值．
符號(hào)意義 本試卷所用符號(hào) 等同于《實(shí)驗(yàn)教材》符號(hào)
向量坐標(biāo)
a
={x，y}
a
=（x，y）
正切 tg tan

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a•2x
2x+
2
的圖象過(guò)點(diǎn)(0，
2
-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）為y=f（x）的圖象上兩個(gè)不同點(diǎn)，又點(diǎn)P（xP，yP）滿足：
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．試問(wèn)：當(dāng)xP=
1
2
時(shí)，yP是否為定值？若是，求出yP的值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案