【題目】如圖,的三條內(nèi)線段、、交于點(diǎn)、用紅、藍(lán)兩種顏色對的三條邊線和三條內(nèi)線段染色,使同色的三線不交于一點(diǎn).證明:在圖中所有的三角形中,至少存在兩個(gè)同色三角形,且它的各邊或延長線被另一線截得的兩線段之比的和大于3.
【答案】見解析
【解析】
根據(jù)抽屜原理,在三條邊線和二條線這6條線中,至少有3條是同色的,設(shè)共為紅色.則紅線的條數(shù)為5,4或3.
(1)若有5條紅線,則必有3條紅線交于一點(diǎn),不合題意.
(2)若有4條紅線,可分兩類:
(i)如果3條是邊線.1條是內(nèi)線或1條邊線、3條內(nèi)線時(shí),則都存在3條紅線交于一點(diǎn),不合題意.
(ii)如果邊線和內(nèi)線各有兩條時(shí),不妨沒邊線為、,則內(nèi)線只能是、.這時(shí)、都是紅色三角形,它們分別被直線、所截.
若被直線所截.由梅氏定理.有.
由均值不等式,得.
因?yàn)?/span>下成立,所以上式等號不能成立.
故.
(3)若有3條紅線,可分三類:
(i)如果3條都為邊線或都為內(nèi)線時(shí),顯然都不符合題意.
(ii)如果兩條為邊線,1條為內(nèi)線時(shí),設(shè)邊線為、,則內(nèi)線必為或.不妨設(shè)為.此時(shí)為紅色三角形,為藍(lán)色三角形,結(jié)論成立.
(iii)如果1條為邊線,兩條為內(nèi)線時(shí),相當(dāng)于兩條邊線為藍(lán)線.1條內(nèi)線為藍(lán)線,由(ii)知,結(jié)論成立.
綜合(1)、(2)、(3)知,命題成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形的中線與中位線相交于,已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形,下列命題中,錯(cuò)誤的是
A. 恒有⊥
B. 異面直線與不可能垂直
C. 恒有平面⊥平面
D. 動點(diǎn)在平面上的射影在線段上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個(gè)正多邊形的每條邊和對角線恰各染成2018種顏色之一,且所有邊及對角線不全同色.若正多邊形中不存在兩色三角形(即三角形的三邊恰被染成兩種顏色),則稱該多邊形的染色是“和諧的”.求最大的正整數(shù) ,使得存在一個(gè)和諧的染色正邊形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐的底面與圓錐的底面都在平面上,且過點(diǎn),又的直徑,垂足為.設(shè)三棱錐的所有棱長都是1,圓錐的底面直徑與母線長也都是1,圓錐的底面直徑與母線長也都是1.求圓錐的頂點(diǎn)到三棱錐的三個(gè)側(cè)面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣位于沙漠地帶,人與自然長期進(jìn)行頑強(qiáng)的斗爭,到1996年底全縣的綠化率已達(dá)到30%(成為綠洲).從1997年開始,每年將出現(xiàn)這樣的局面,原有沙漠面積的16%被栽上樹,改造為綠洲,而同時(shí),原有綠洲面積的4%又被侵蝕,變?yōu)樯衬?/span>
(1)設(shè)全縣面積為1,1996年底綠洲面積為,經(jīng)過年綠洲面積為.求證:.
(2)至少需經(jīng)過多少年的努力才能使全縣的綠化率超過60%(年取整數(shù))?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D.有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.
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【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí),為了研究學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對線上教育進(jìn)行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認(rèn)為對“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”;
滿意 | 不滿意 | 總計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) | 120 |
(2)從被調(diào)查中對線上教育滿意的學(xué)生中,利用分層抽樣抽取8名學(xué)生,再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生,作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹,其中抽取男生的個(gè)數(shù)為,求出的分布列及期望值.
參考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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