Question

已知實數(shù)a＞0且a≠1，命題p：y=log_a（2-ax）在區(qū)間[0，

1

2

]上為減函數(shù)；命題q：方程e^x-x+a-3=0在[0，1]有解．若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由a＞0，知t=2-ax為[0，

1

2

]上的減函數(shù)．由y=log_a（2-ax）在區(qū)間[0，

1

2

]上為減函數(shù)，知a＞1；由2-ax＞0在[0，

1

2

]上恒成立，知a＜4，故1＜a＜4．由對于?x∈[0，1]，e^x-x+a-3=0有解，知a=-e^x+x+3在[0，1]上有解．再由p∨q為真，p∧q為假，能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵a＞0，∴t=2-ax為[0，

1

2

]上的減函數(shù)．
又∵y=log_a（2-ax）在區(qū)間[0，

1

2

]上為減函數(shù)，∴a＞1…（2分）
又∵2-ax＞0在[0，

1

2

]上恒成立，
∴2-

1

2

a＞0，即a＜4，
∴1＜a＜4…（4分）
∵對于?x∈[0，1]，e^x-x+a-3=0有解，
即a=-e^x+x+3在[0，1]上有解．
令f（x）=-e^x+x+3，x∈[0，1]，
∴f′（x）=-e^x+1，
當0≤x≤1時，f′（x）=-e^x+1≤0，
∴f（1）≤f（x）≤f（0），
即4-e≤f（x）≤2，
∴4-e≤a≤2…（8分）
又∵p∨q為真，p∧q為假
∴1＜a＜4-e或2＜a＜4．…（12分）

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意對數(shù)函數(shù)的指數(shù)方程的性質(zhì)的靈活運用．