已知拋物線y2=4ax(0＜a＜1)的焦點(diǎn)為F，以A(a+4,0)為圓心，｜AF｜為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點(diǎn)M和N，設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，

(Ⅰ)求｜MF｜+｜NF｜的值；

(Ⅱ)是否存在這樣的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差數(shù)列?如存在，求出a的值，

(1) 8    (2)不存在


解析:

(1)由已知得F(a,0),半圓為［x-(a+4)］2+y2=16(y≥0)，設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則｜MF｜+｜NF｜=x1+x2+2a=2(4-a)+2a=8

(2)若｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等成數(shù)列，則有2｜PF｜=｜MF｜+｜NF｜,另一方面，設(shè)M、P、N在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為M′、P′、N′，則在直角梯形M′MNN′中，P′P是中位線，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P點(diǎn)應(yīng)在拋物線上，但P點(diǎn)是線段MN的中點(diǎn)，即P并不在拋物線上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差數(shù)列的a值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）．
（1）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•東城區(qū)二模）已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)A（t，0）（常數(shù)t＞4），當(dāng)a在閉區(qū)間〔1，2〕內(nèi)變化時，求△APQ面積的最大值，并求相應(yīng)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：0108 模擬題 題型：解答題

已知拋物線y2=4a（x+a）（a＞0），過原點(diǎn)O作一直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，試求|OA|·|OB|的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）．
（1）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：8.3 拋物線（解析版） 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸與短軸之比為，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）．
（1）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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同步練習(xí)冊答案