Question

【題目】已知，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)在直線上，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記點(diǎn)到直線的距離分別為，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由題可得是線段的垂直平分線，所以可得，由橢圓的定義可知，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，以4為長軸長的橢圓，即可求得方程；

（2）設(shè)，可知點(diǎn)處的切線的方程為，同理可得切線的方程為，故直線的方程為，表示出，，；算出，求出其最大值即可.

解：（1）由，可知為線段的中點(diǎn)，

又，所以是線段的垂直平分線，故.

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以.

由橢圓的定義可知，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，以4為長軸長的橢圓，即，

解得，

另當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，與重合，不符合題意，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，所以曲線點(diǎn)處的切線的方程為，又因?yàn)榍芯�過，所以.

同理可得，故直線的方程為.

所以.

因?yàn)橹本�的方程為，所以，.

又因?yàn)?/span>在直線的兩側(cè)，

所以

，

所以，

令，，

則，

當(dāng)，即時(shí)，有最大值，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.