Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線于橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得弦長為．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）在上是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得直線和的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，結(jié)合的關(guān)系，解方程可得進(jìn)而得到橢圓方程；

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線的傾斜角互補(bǔ)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即有，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理，結(jié)合恒成立問題解法，即可得到所求定點(diǎn)．

（Ⅰ）由已知可得，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，

因此，,解得，

所以橢圓E方程為；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線與的傾斜角均為，滿足題意，

此時(shí)，且；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立，得，

其判別式，

，，

直線的傾斜角互補(bǔ)，

，

∴，

即，

整理得，

把，代入得，

所以，即，

綜上所述存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)滿足題意．