【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若在處取極值,求在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若有唯一的零點(diǎn),求證:
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值中的應(yīng)用。(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)在處取極值可得,然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程即可。(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,令,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值可得在上有唯一零點(diǎn),設(shè)為,證明即可得結(jié)論。
試題解析:
(Ⅰ)∵,
,
∵在處取極值,
∴,解得.
,
,
又.
∴在點(diǎn)處的切線方程為,
即
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,
令,
則
由,可得
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。
又,故當(dāng)時(shí), ;
又,故在上有唯一零點(diǎn),設(shè)為,
從而可知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?/span>有唯一零點(diǎn),
故且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為、,設(shè)點(diǎn),在中, ,周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若直線與的斜率之和為,求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)記第(2)問(wèn)所求的定點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試根據(jù)面積的不同取值范圍,討論存在的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù), 為直線的傾斜角). 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系. 圓C的極坐標(biāo)方程為,設(shè)直線l與圓C交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求角的取值范圍;
(Ⅱ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為, 是橢圓上的一個(gè)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為, ()是橢圓上異于的任意一點(diǎn), 軸, 為垂足, 為線段中點(diǎn),直線交直線于點(diǎn), 為線段的中點(diǎn),如果的面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí), ,設(shè) “”.
(1)若為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)集合與集合的交集為,若為假, 為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為, ,且是與的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì),恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在平面直角坐標(biāo)系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為。
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于, 兩點(diǎn),求點(diǎn)到, 的距離之積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形,且其周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,若點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)判斷曲線是否位于軸下方,并說(shuō)明理由.
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