Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為矩形，D為的中點，AC⊥平面BCC1B1．

（Ⅰ）證明：AB//平面CDB1;

（Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=,

（1）求BD的長；

（2）求B1D與平面ABB1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；(Ⅱ) （1），（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用中位線定理得出DE//AB，即可證得；

（Ⅱ）（1）在中，利用勾股定理運算即可；

（2）以C為原點，CB所在的直線為x軸、CC1為y軸建立空間直角坐標系，利用向量求解線面角即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：連結(jié)交于E，連結(jié)DE，

∵D、E分別為和的中點，

∴DE//AB,

又∵平面, 平面,

∴AB//平面CDB1;

（Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC1B1， 平面，

∴,

又∵, ，

∴平面，

∵平面,

∴,

在,∵BC=1， ,

∴;

【注：以上加灰色底紋的條件不寫不扣分！】

（2）依題意知AC、BC、CC1兩兩互相垂直，以C為原點，CB所在的直線為x軸、CC1為y軸建立空間直角坐標系如圖示，

易得， ，

， ，

故,,,

設(shè)平面的一個法向量為，

由得令得，

設(shè)與平面所成的角為，則 ,

即與平面所成的角的正弦值為.

【其它解法請參照給分，如先用體積法求出點D到平面ABB1的距離，（10分）再用公式算與平面所成角的正弦值（12分）】