Question

遼寧號(hào)航母紀(jì)念章從2012年10月5日起開始上市．通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：

上市時(shí)間x天	4	10	36
市場價(jià)y元	90	51	90

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述遼寧號(hào)航母紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系：①y=ax+b；②y=ax²+bx+c；③y=alog_bx；
（2）利用你選取的函數(shù)，求遼寧號(hào)航母紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格；
（3）設(shè)你選取的函數(shù)為f（x），若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，方程f（x）=kx+2m+120恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中每1枚的市場價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)，可分析出隨著時(shí)間x的增加，y的值先減后增，結(jié)合一次函數(shù)，二次函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；
（2）由已知中每1枚的市場價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)，代入（1）中解析式，構(gòu)造方程組，解方程組求出參數(shù)，可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到遼寧號(hào)航母紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格；
（3）若方程f（x）=kx+2m+120恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的△＞0，由此構(gòu)造關(guān)于m的不等式，解不等式可得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵隨著時(shí)間x的增加，y的值先減后增，
而所給的三個(gè)函數(shù)中y=ax+b和y=alog_bx顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，
∴y=ax²+bx+c…（4分）
（2）把點(diǎn)（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得

a•42+4b+c=90 a•102+10b+c=51 a•362+36b+c=90

⇒

a= 1 4 b=-10 c=126

…（6分）
∴y=

1

4

x2-10x+126=

1

4

(x-20)2+26
∴當(dāng)x=20時(shí)，y有最小值，y_min=26…（8分）
故，遼寧號(hào)航母紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)為20天，最低價(jià)格為26元…（9分）
（3）由（2）知f(x)=

1

4

x2-10x+126，又∵f（x）=kx+2m+120恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，則

1

4

x2-(k+10)x+6-2m=0恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，所以△1=[-(k+10)]2-4×

1

4

(6-2m)＞0恒成立，…（11分）
即k²+20k+2m+94＞0對(duì)k∈R恒成立，
所以，△2=202-4(2m+94)＜0，…（12分）
解得m＞3．故，m的取值范圍為（3，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的零點(diǎn)，方程根的存在性及個(gè)數(shù)的判斷，難度中檔．