【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,△SAD是正三角形,P,Q分別是棱SC,AB的中點(diǎn),且平面SAD⊥平面ABCD.
(1)求證:PQ∥平面SAD;
(2)求證:SQ⊥AC.

【答案】
(1)證明:取SD中點(diǎn)F,連結(jié)AF,PF.

∵P,F(xiàn)分別是棱SC,SD的中點(diǎn),∴FP∥CD,且 ,

∵在正方形ABCD中,Q是AB的中點(diǎn),

∴AQ∥CD,且 ,即FP∥AQ且FP=AQ,

∴AQPF為平行四邊形,則PQ∥AF,

∵PQ平面SAD,AF平面SAD,∴PQ∥平面SAD


(2)證明:連結(jié)BD,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,

取AD中點(diǎn)E,連SE,EQ,

∵Q為AB中點(diǎn),∴EQ∥BD,∴AC⊥EQ.

∵SA=SD,∴SE⊥AD,

∵平面SAD⊥平面ABCD,且交線為AD,∴SE⊥平面ABCD,

又AC平面ABCD,∴AC⊥SE,

∵SE∩EQ=E,SE,EQ平面SEQ,∴AC⊥平面SEQ,

∵SQ平面SEQ,∴SQ⊥AC


【解析】(1)取SD中點(diǎn)F,連結(jié)AF,PF.證明PQ∥AF.利用直線與平面平行的判定定理證明PQ∥平面SAD.(2)連結(jié)BD,證明SE⊥AD.推出SE⊥平面ABCD,得到SE⊥AC.證明EQ⊥AC,然后證明AC⊥平面SEQ,即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行),還要掌握直線與平面垂直的性質(zhì)(垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求P(2,1),P(3,2)及P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表達(dá)式.(不必證明)
(2)設(shè)小彈子落入第6層第m個(gè)豎直通道得到分?jǐn)?shù)為ξ,其中ξ= ,試求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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1)若直線與曲線有公共點(diǎn),求的取值范圍;

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(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo);

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