【題目】如圖,在直三棱柱中,為等腰直角三角形,,D為BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2).
【解析】
(1)連接交與點(diǎn),可證得,從而得證線面平行;
(2)以DA,DC所在直線,過(guò)點(diǎn)D且平行于的直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量,由直線的方向向量與法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值求得線面角的正弦值.
(1)連接,記,連接DE,
在直三棱柱中,易知側(cè)面為平行四邊形,所以E是的中點(diǎn),
又D為BC的中點(diǎn),所以,
又平面,平面,所以平面.
(2)因?yàn)?/span>,D為BC的中點(diǎn),所以,
又在直三棱柱中,平面ABC,
所以可以DA,DC所在直線,過(guò)點(diǎn)D且平行于的直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)?/span>,為等腰直角三角形,
所以,,,,
故,,.
設(shè)平面的法向量為,則,即,所以,
令,得,則為平面的一個(gè)法向量,
設(shè)直線與平面所成的角為,
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇,某電商平臺(tái)為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場(chǎng).為了對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷,得到如下數(shù)據(jù):
單價(jià)(元/件) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量(萬(wàn)件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若該產(chǎn)品成本是4元/件,假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出,預(yù)測(cè)把單價(jià)定為多少時(shí),工廠獲得最大利潤(rùn)?
(參考公式:回歸方程,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱柱平面是內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),若直線和所成角的最小值與直線和平面所成角的最大值相等,則滿足條件的點(diǎn)的軌跡是( )
A.直線的一部分B.圓的一部分C.拋物線的一部分D.橢圓的一部分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形,為中點(diǎn),為邊上一動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將,分別沿,折起,使得,重合為點(diǎn),形成四棱錐,過(guò)點(diǎn)作平面于.①平面平面;②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),三棱錐的體積為;③為的垂心;④長(zhǎng)的取值范圍為 .則以上判斷正確的有______(填正確命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面,,分別是棱,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,求平面將三棱錐分成的兩部分的體積中較大部分的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在梯形中,,且,是等腰直角三角形,其中為斜邊,若把沿邊折疊到的位置,使平面平面.
(1)證明:.
(2)若為棱的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 函數(shù).若關(guān)于的方程有個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平行四邊形ABCD中,∠A,2AB=BC,E,F分別是BC,AD的中點(diǎn).將四邊形DCEF沿著EF折起,使得平面ABEF⊥平面DCEF,得到三棱柱AFD﹣BEC.
(1)證明:DB⊥EF;
(2)若AB=2,求三棱柱AFD﹣BEC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求證:.
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