【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值集合;

2)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),且滿足

【答案】1;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)求出公切線方程,再將公切線方程與函數(shù)聯(lián)立,表示,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和值域,可求出a的取值;

2)要證有兩個(gè)零點(diǎn),只要證有兩個(gè)零點(diǎn)即可,而時(shí)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),所以只需再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的性質(zhì)即可,由于兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)是,另一個(gè)在區(qū)間上,若設(shè), 所以只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可 .

解:(1)設(shè)公切線l與函數(shù)的切點(diǎn)為,則公切線l的斜率,公切線l的方程為:,將原點(diǎn)坐標(biāo)代入,得,解得,公切線l的方程為:

將它與聯(lián)立,整理得

,對(duì)之求導(dǎo)得:,令,解得

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,值域?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,值域?yàn)?/span>,

由于直線l與函數(shù)相切,即只有一個(gè)公共點(diǎn),

故實(shí)數(shù)a的取值集合為

2)證明:,要證有兩個(gè)零點(diǎn),只要證有兩個(gè)零點(diǎn)即可.,即時(shí)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).

對(duì)求導(dǎo)得:,令,解得.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),取最小值,,必定存在使得二次函數(shù),

.因此在區(qū)間上必定存在的一個(gè)零點(diǎn).

練上所述,有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)是,另一個(gè)在區(qū)間上.

下面證明

由上面步驟知有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)是,另一個(gè)在區(qū)間上.

不妨設(shè),下面證明即可.

,對(duì)之求導(dǎo)得,

在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,,即

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A..B..C..D..

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A.B.C.D.

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