【題目】如圖,四棱錐中,底面,,,,,為棱的中點(diǎn).

(1)證明:平面;

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】試題分析:(1)連結(jié),取的中點(diǎn),連結(jié),由已知條件推導(dǎo)出,,由此能證明平面;(2)以為原點(diǎn),軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.

試題解析:(1)連接BD,取DC的中點(diǎn)G,連接BG,

由此知DGGCBG=1,即△DBC為直角三角形,

BCBD.PD⊥平面ABCD,∴BCPD,又PDBDD,

BC⊥平面BDP,∴BCDM.

PDBD=,PDBD,MPB的中點(diǎn),

DMPB,∵PBBCB

DM⊥平面PBC。

D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DADC,DP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系Dxyz,

A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),

從而,設(shè)是平面ADM的法向量,

,即2∴可取

同理,設(shè)是平面CDM的法向量,則,即2

∴可取,∴,

顯然二面角ADMC的大小為鈍角,∴所以二面角ADMC的余弦值為.

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【題目】已知f(x)= x3﹣2ax2﹣3x(a∈R). (Ⅰ)若f(x)在區(qū)間(﹣1,1)內(nèi)為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)對于實數(shù)a的不同取值,試討論y=f(x)在(﹣1,1)內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù).

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(Ⅰ)如圖,以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù),求圓x2y2x=0的參數(shù)方程;

(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為 (s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若lC相交于A,B兩點(diǎn),求AB的長.

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(2)經(jīng)過的直線和橢圓交于兩點(diǎn),交拋物線于兩點(diǎn), 是拋物線的焦點(diǎn),是否存在直線,使得,若存在,求出直線的方程,若不存在,說明理由。

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【題目】隨機(jī)詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明,得到如下列聯(lián)表:

總計

讀營養(yǎng)說明

16

8

24

不讀營養(yǎng)說明

4

12

16

總計

20

20

40

(1)根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系?

(2)從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學(xué)生中,隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).

(注: ,其中為樣本容量)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知橢圓的離心率為,四個頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線的斜率分別為.

(1)求橢圓的方程;

(2)當(dāng)變化時,①求的值;②試問直線是否過某個定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請說明理由.

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(1)求直線 的普通方程和圓 的圓心的極坐標(biāo);
(2)設(shè)直線 和圓 的交點(diǎn)為 ,求弦 的長.

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【題目】已知,函數(shù), .(的圖象連續(xù)不斷)

(1) 的單調(diào)區(qū)間;

(2) 當(dāng)時,證明:存在,使;

(3) 若存在屬于區(qū)間,且,使,證明:

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