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如圖，三棱錐中，，，，點在平面內的射影恰為的重心，M為側棱上一動點．

（1）求證：平面平面；
（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值．
（1）詳見解析；（2）．

試題分析：（1）證明平面平面，證明面面垂直，先證線面垂直，即證一個平面過另一個平面的垂線，本題根據面面垂直的判定定理可知在平面內找一條直線與平面垂直，由已知平面，可得，由題意可知，是等腰三角形，且為重心，既得，從而得平面，可證平面平面；（2）當M為的中點時，求直線與平面所成角的正弦值，求線面角，傳統(tǒng)方法是找線和射影所成的角，本題找射影比較麻煩，可用向量法來求，過作的平行線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出平面的一個法向量，利用線面角的正弦值等于線和法向量所成角的余弦值即可求出直線與平面所成角的正弦值．
試題解析：（1）取中點，連接、，
∵平面，∴
等腰中，為重心，∴
∴平面 
∴平面平面               6分
（2）中， ∴
∵平面 ∴
∴ ∴
過作的平行線為軸，為軸，為軸
建立空間直角坐標系
   
∴  
設直線與平面所成角為
設平面的法向量為 
     ∴

 ∴     12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在四棱錐中,平面,,且,點在上.
（1）求證:；
（2）若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，且，.

（1）設點是上任一點，試求的最小值；
（2）求證：、在以為直徑的圓上；
（3）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點，是線段上的點．

（1）當是的中點時，求證：平面；
（2）要使二面角的大小為，試確定點的位置．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點,,.

(1)設是的中點,證明:平面;
(2)證明:在內存在一點,使平面,并求點到,的距離.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中,面，、分別為、的中點，，.

（1）證明：∥面；
（2）求面與面所成銳角的余弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F為PC的中點，AF⊥PB.

(1)求PA的長；
(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知點B是點A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,則|OB|等于(　　)
A．(9,0,16)B．25
C．5D．13

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