已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)和B(0,-3),且圓心C在直線l:2x-y-5=0上.
(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)P(4,-8)直線l與圓C交點(diǎn)M、N兩點(diǎn),且|MN|=4,求直線l的方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,2a-5),利用圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)和B(0,-3),建立方程,求出圓心坐標(biāo)與半徑,即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線l的斜率不存在時,直線方程為x=4,滿足題意;直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為y+8=k(x-4),利用圓心到直線的距離公式建立方程,即可求得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,2a-5),則
∵圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)和B(0,-3),
∴(a-4)2+(2a-5-1)2=a2+(2a-5+3)2,
∴a=2,
∴圓心坐標(biāo)為(2,-1),半徑為2
2
,
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=8;
(Ⅱ)直線l的斜率不存在時,直線方程為x=4,代入圓的方程可得y=1或-3,此時|MN|=4,
直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為y+8=k(x-4),即kx-y-4k-8=0,
∵|MN|=4,
∴圓心到直線的距離為
8-4
=
|2k+1-4k-8|
k2+1

∴k=-
45
28
,
∴直線方程為45x+28y+44=0.
綜上,直線l的方程為45x+28y+44=0或x=4.
點(diǎn)評:本題考查圓的方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
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(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l:y=x+m(m為正實數(shù)),若直線l截圓C所得的弦長為
14
,求實數(shù)m的值.
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