【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.

（1）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知定點，直線與曲線C分別交于P、Q兩點，求的值.

【答案】（1）的普通方程為,曲線C的直角坐標方程為

（2）3

【解析】

（1）由可化極坐標方程為直角坐標方程，用消元法可化參數(shù)方程為普通方程；

（2）直線的參數(shù)方程為正好是標準參數(shù)方程，參數(shù)表示直線上的點到點距離的絕對值，直接把直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程應(yīng)用韋達定理易求得結(jié)論．

解：（1）由消去參數(shù)t得直線的普通方程為.

由得曲線C的直角坐標方程為.

（2）將代入得.

設(shè)方程的兩根為，，則，，，

故.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為，為直線上的任意一點.

（1）為曲線上任意一點，求兩點間的最小距離；

（2）過點作曲線的兩條切線，切點為，曲線的對稱中心為點，求四邊形面積的最小值.

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（1）證明：平面；

（2）若四邊形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.

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A.直線與平面平行B.直線與直線垂直

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【題目】目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球肆虐，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如下圖所示的頻率分布直方圖（用頻率作為概率）.潛伏期不高于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期高于平均數(shù)的患者，稱為“長潛伏者”.

短潛伏者

長潛伏者

合計

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計

300

（1）求這500名患者潛伏期的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù)；

（2）為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標準進行分層抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認為潛伏期長短與患者年齡有關(guān)：

（3）研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現(xiàn)在要通過逐一試驗直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費的費用是500元，設(shè)所需要的試驗費用為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點為，下頂點為P，過點的動直線l交橢圓C于A，B兩點.

（1）當直線l平行于x軸時，P，F，A三點共線，且，求橢圓C的方程；

（2）當橢圓C的離心率為何值時，對任意的動直線l，總有？

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【題目】設(shè)為給定的大于2的正整數(shù)，集合，已知數(shù)列：，，…，滿足條件：

①當時，；

②當時，.

如果對于，有，則稱為數(shù)列的一個逆序?qū)?/span>.記數(shù)列的所有逆序?qū)Φ膫�數(shù)為.

（1）若，寫出所有可能的數(shù)列；

（2）若，求數(shù)列的個數(shù)；

（3）對于滿足條件的一切數(shù)列，求所有的算術(shù)平均值.

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【題目】某校為了解學(xué)生對消防安全知識的掌握情況，開展了網(wǎng)上消防安全知識有獎競賽活動，并對參加活動的男生、女生各隨機抽取20人，統(tǒng)計答題成績，分別制成如下頻率分布直方圖和莖葉圖：

（1）把成績在80分以上（含80分）的同學(xué)稱為“安全通”.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為是否是“安全通”與性別有關(guān)

男生

女生

合計

安全通

非安全通

合計

（2）以樣本的頻率估計總體的概率，現(xiàn)從該校隨機抽取2男2女，設(shè)其中“安全通”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：參考公式，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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