【題目】如圖,四邊形是梯形,四邊形是矩形,且平面平面, , , , 是線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)試確定點(diǎn)的位置,使平面,并說明理由;
(2)在(1)的條件下,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析: 根據(jù)所給圖形,得到當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí), 平面,連結(jié),交DF于,連結(jié),利用三角形中位線定理能夠證明平面;
過點(diǎn)作平面與平面的交線,過點(diǎn)作于,過作于,連結(jié)由已知條件推導(dǎo)出是平面與平面所成銳二面角的平面角,由此能求出所求二面角的余弦值。
解析:(Ⅰ)當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí),AC∥平面DMF.
證明如下:
連結(jié)CE,交DF于N,連結(jié)MN,
由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn),所以MN∥AC,
由于MN平面DMF,又AC不包含于平面DMF,
∴AC∥平面DMF.
(Ⅱ)過點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線l,
∵AC∥平面DMF,∴AC∥l,
過點(diǎn)M作MG⊥AD于G,
∵平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,
∴DE⊥平面ABCD,∴平面ADE⊥平面ABCD,
∴MG⊥平面ABCD,
過G作GH⊥l于H,連結(jié)MH,則直線l⊥平面MGH,∴l⊥MH,
∴∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角.
設(shè)AB=2,則DG=1,GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×=,MG==1
∴cos∠MHG==,
∴所求二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,若 ,則弦長(zhǎng)|AB|等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a1 , a3 , a9成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= +n,求數(shù)列Sn的前Sn項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)相異實(shí)根,且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的斜率為k,經(jīng)過點(diǎn)(1,﹣1),將直線向右平移3個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,得到直線m,若直線m不經(jīng)過第四象限,則直線l的斜率k的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高二年級(jí)有500名學(xué)生,為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成績(jī),制成如下頻率分布表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[85,95) | ① | 0.025 |
[95,105) | 0.050 | |
[105,115) | 0.200 | |
[115,125) | 12 | 0.300 |
[125,135) | 0.275 | |
[135,145) | 4 | ② |
[145,155] | 0.050 | |
合計(jì) | ③ |
(1)根據(jù)圖表,①②③處的數(shù)值分別為、、;
(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出[85,155]的頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)題中信息估計(jì)總體落在[125,155]中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的方程為x=﹣2,且直線l與x軸交于點(diǎn)M,圓O:x2+y2=1與x軸交于A,B兩點(diǎn).
(1)過M點(diǎn)的直線l1交圓于P、Q兩點(diǎn),且圓孤PQ恰為圓周的 ,求直線l1的方程;
(2)若橢圓中a,c滿足 =2,求中心在原點(diǎn),且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程;
(3)過M點(diǎn)作直線l2與圓相切于點(diǎn)N,設(shè)(2)中橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 求三角形△NF1F2面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, .
(1)求函數(shù)的增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并說明理由;
(3)設(shè)正實(shí)數(shù), 滿足,當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù), 總有.
(參考求導(dǎo)公式: )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在高二年級(jí)實(shí)行選課走班教學(xué),學(xué)校為學(xué)生提供了多種課程,其中數(shù)學(xué)學(xué)科提供5種不同層次的課程,分別稱為數(shù)學(xué)1、數(shù)學(xué)2、數(shù)學(xué)3、數(shù)學(xué)4、數(shù)學(xué)5,每個(gè)學(xué)生只能從5種數(shù)學(xué)課程中選擇一種學(xué)習(xí),該校高二年級(jí)1800名學(xué)生的數(shù)學(xué)選課人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表:
課程 | 數(shù)學(xué)1 | 數(shù)學(xué)2 | 數(shù)學(xué)3 | 數(shù)學(xué)4 | 數(shù)學(xué)5 | 合計(jì) |
選課人數(shù) | 180 | 540 | 540 | 360 | 180 | 1800 |
為了了解數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生選課情況之間的關(guān)系,用分層抽樣的方法從這1800名學(xué)生中抽取10人進(jìn)行分析.
(1)從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求這3人中至少有2人選擇數(shù)學(xué)2的概率;
(2)從選出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記這3人中選擇數(shù)學(xué)2的人數(shù)為,選擇數(shù)學(xué)1的人數(shù)為,設(shè)隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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