Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ－4sin θ＝0.

(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)P(1,0)．若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，直線l經(jīng)過點(diǎn)M且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，求|PQ|的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)3.

【解析】試題分析：（1）由參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程得到直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立直線和曲線方程得到關(guān)于t的二次，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)Q對應(yīng)的參數(shù)值為，進(jìn)而得到PQ的值.

解析：

(1)∵直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，∴直線l的普通方程為y＝tan α·(x－1)．

由ρcos2θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，

即x2－4y＝0.

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y.

(2)∵點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,1)．

∴tan α＝－1，直線l的傾斜角α＝.

∴直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．

代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.

設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.

∵Q為線段AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q對應(yīng)的參數(shù)值為＝＝3.

又點(diǎn)P(1,0)，則|PQ|＝＝3.