Question

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=t，an+1=Sn+1(n∈N*)，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b₅=9，b₇=13．
（I）t為何值，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（II）在（I）的條件下，若cn=an•bn(n∈N*)，設(shè)TN為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=S_n+1，知當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+1，兩式相減，得a_n+1-a_n=a_n，故a_n+1=2a_n，由此能求出結(jié)果．
（II）由數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，知公差d=

1

2

(b7-b5)=

1

2

(13-9)=2，所以b_n=2n-1，由此入手利用錯(cuò)位相減法能夠求出T_n．

解答：解：（I）∵a_n+1=S_n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+1，
兩式相減，得a_n+1-a_n=a_n，
∴a_n+1=2a_n，
要使數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)

a2

a1

=2，即

t+1

t

=2，
∴t=1．
故t=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（II）∵數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，則公差d=

1

2

(b7-b5)=

1

2

(13-9)=2，
∴首項(xiàng)b₁=b₅-4d=9-4×2=1，
∴b_n=2n-1，
由（I）知，an=2n-1，n∈N^*，
∴c_n=a_n•b_n=2^n-1，n∈N^*
∴Tn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1，①
∴2Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+（2n-1）×2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1×2⁰+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）×2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．