Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，兩焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為D，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l恒過點(diǎn)，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，證明：以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，得a=，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）．當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=kx-，由，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，由TA⊥TB，知以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1），由此能夠證明以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．
解答：解：（1）由題意知△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，
∴a=，
∴，
∵橢圓過點(diǎn)P（-1，-），代入方程，得b=1，
∴a=，故所求橢圓方程為．
（2）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
此圓顯然過點(diǎn)T（0，1）．
當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=kx-，
由，消去y，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∵，，
∴=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=
=
=（1+k²）•，
∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1），
綜上所述，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（0，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考要直線和橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理、向量垂直等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．