解:(Ⅰ)∵
,
∴(2a+c)accosB+cabcosC=0,
即(2a+c)cosB+bcosC=0,
則(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sin(C+B)=0,
即
,
B是三角形的一個(gè)內(nèi)角,
∴
(Ⅱ)∵
,
∴12=a
2+c
2+ac≥3ac,即ac≤4
∴
=
,
即
的最小值為-2
分析:(1)根據(jù)題目中所給的向量的數(shù)量積寫出數(shù)量積的公式,得到關(guān)于三角形邊和角的等式關(guān)系,根據(jù)正弦定理把變化為角,逆用兩角和的正弦公式,得到角B的余弦值,根據(jù)角的范圍寫出角.
(2)本題要求向量的數(shù)量積的最值,而這兩個(gè)向量的夾角是上一問求出的B,在表示向量數(shù)量積時(shí),只有兩邊之積是一個(gè)變量,因此要表示出兩邊之積,根據(jù)余弦定理和基本不等式得到ac的范圍,得到結(jié)果.
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)三角函數(shù)同向量結(jié)合的問題,是以向量的數(shù)量積為條件,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,在高考時(shí)可以以解答題形式出現(xiàn),本題又牽扯到解三角形,是一個(gè)綜合題.